Asal Usul Bilangan Kuantum

Karya : Zulfatul Karomah – 152151073

Email  : xia2.zulfatulkaromah@gmail.com

D

ewasa ini kita sudah mengenal dengan bilangan kuantum yang pernah dipelajari pada teori atom kimia SMA, atau fisika dan lebih lanjut lagi pada materi mekanika kuantum. Namun apakah ada hubungannya dengan matematika? Tentu pasti ada, karena ilmu kimia adalah hasil perkawinan antara matematika dan fisika. Sedangkan pada fisika matematika digunakan dalam teori-teorinya, matematika yang digunakannya juga sangat rumit, bahkan para ahli fisika menuturkan bahwa jika ingin menjadi ahli fisika jadilah ahli matematika terlebih dahulu. Sebelum membahas lebih lanjut, apasih bilangan kuantum? Bilangan kuantum (bahasa inggris : Quantum Number) adalah bilangan yang menyatakan kedudukan atau posisi elektron dalam atom yang diwakili oleh suatu nilai yang menjelaskan kuantitas kekal dalam sistem dinamis.

Sejarah Bilangan Kuantum

Louis de Broglie seorang ahli Fisika dari Perancis pada tahun 1923 mengajukan hipotesis tentang gelombang materi. Menurutnya, gerakan partikel yang bergerak mendekati kecepatan cahaya, seperti halnya gerakan elektron mengitari inti atom, mempunyai sifat gelombang. Berawaldari persamaan Einsten , E=  dengan  adalah kecepatan cahaya adalah momentum foton dan E adalah energi, ia mendapatkan hubungan

 atau  maka

Hipotesis ini dibuktikan kebenarannya oleh Davidson dan Germer dengan mengamati pola-pola difraksi elektron yang berenergi tertentu yang ditembakkan pada lempeng logam nikel.

Niel Bohr adalah orang pertama yang mengggunakan bilangan kuantum, namun hanya menggunakan satu bilangan kuantum. Sehingga werner karl heisberg ahli fisika jerman mencoba mengembangkannya dengan prinsip ketidakpastian “(hampir) tidak mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel”. Untuk mengamati partikel yang sangat kecil, seseorang harus meradiasi partikel dengna cahaya. Tumbukan antara partikel dengan foton akan mrngubah posisi dan momentum partikel. Heisnberg menjelaskan bahwa hasil kali antara ketidakpastian  posisi x dan ketidakpastian momentum p akan bernilai sekitar konstanta planck

Pada tahun 1926 Erwin Schrodinger seorang ahli Fisika dari Austria mengusulkan ide bahwa persamaan De Broglie dapat diterapkan tidak hanya untuk gerakan bebas partikel, tetapi juga pada gerakan yang terikat seperti elektron dalam atom. Dengan memperluas ide ini, ia merumuskan sistem mekanika gelombang. Pada saat yang sama heisenberg mengembangkan sistem mekanika matriks. Kemudian hari kedua sistem ini disatukan dalam mekanika kuantum. Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem dideskripsikan dengan fungsi gelombang. Schrodinger mendasarkan teorinya pada ide bahwa energi total sistem, E dapat diperkirakan dengan menyelesaikan persamaan. Karena persamaan ini memiliki kemiripan dengan persamaan yang mengungkapkan gelombang difisika  klasik, maka persamaan ini disebut dengan persamaan gelombang scrodinger. Persamaan partikel (misalnya elektron) yang bergerak dalam satu arah (misalnya arah x) diberikan oleh:

+

M adalah masa elektron v adalah energi potensial sistem sebagai fungsi koordinat, dan adalah fungsi gelombang.

Mengenal macam-macam bilangan kuantum

Bilangan kuantum utama (primer) digunakan untuk menyatakan tingkat energi utama yang dimiliki oleh elektron dalam sebuah atom. Bilangan kuantum utama tidak pernah bernilai nol karena menyatakan jumlah kulit pada suatu atom. Bilangan kuantum utama mempunyai nilai semua bilangan positif, yaitu 1,2,3,4 dan seterusnya. Sedangkan kulit atom dinyatakan dengan huruf K,L,M,N dan seterusnya

Bilangan kuantum azimut sering disebut bilangan kuantum anguler (sudut). Energi sebuah elektron berhubungan dengan gerakan orbital yang digambarkan dengan momentum sudut. Momentum sudut tersebut dikarakterisasi menggunakan bilangan kuantum azimut. Bilangan azimut menyatakan bentuk suatu orbital dengan simbol (l) "huruf L kecil". Bilangan kuantum azimut juga berhubungan dengan jumlah subkulit. Nilai ini menggambarkan subkulit yang dimana elektron berbeda. Untuk subkulit s,p,d,f bilangan kuantum azimut berturut-turut adalah 0,1,2,3^[2].

Bilangan kuantum magnetik menyatakan tingkah laku elektron dalam medan magnet. Tidak adanya medan magnet luar membuat elektron atau orbital mempunyai nilai n dan l yang sama tetapi berbeda m. Namun dengan adanya medan magnet, nilai tersebut sedikit berubah. Hal ini dikarenakan timbulnya interaksi antara medan magnet itu sendiri dengan medan magnet luar. Bilangan Kuantum spin menyatakan momentum sudut suatu partikel. Spin mempunyai simbol "s" atau sering ditulis dengan m_s (bilangan kuantum spin magnetik). Suatu elektron dapat mempunyai bilangan kuantum spin s = +1/2 atau -1/2^[1].

Hubungan bilangan kuantum dengan matematika

Matematika sangat erat hubungannya dengan ilmu-ilmu lain termasuk dengan bilangan kuantum ini yang dipelajari di mekanika kuantum pada fisika dan kimia. Letak hubungannya terletak pada asal usul bilangan kuantum yang merupakan suatu turunan dari persamaan scrodinger yang dikemukakan oleh erwin scrodinger. Ini merupakan contoh persamaan scrodinger pada atom hidrogen.

                   (1.1)

Dan energi potensial

(r) = -              (1.2)

sehingga

-      (1.3)

Dengan demikian persamaan scrodinger untuk atom hidrogen

  (1.4)

Mengingat sisterm atom hidrogen memiliki simetri analisis menjadi lebih sederhana bila operator  diungkapkanDalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,, persamaan 1.4 menjadi

=

Prosesnya :

Dengan mengingat

Maka persamaan (1.4) menjadi

=

Faktor  kita keluarkan dari kurung

- =0 (1.5)

Selanjutnya untuk mendapatkan solusi bagi persamaan 1.5, dilakukan pemisahan variabel )

  (1.6)

Subtitusi ungkapan (1.6) ke dalam persamaan (1.5) kemudian dikalikan

=0 (1.7)

Kalikan persamaan tersebut dengan

Persamaan 1.5 menjadi

+

Persamaan (1.5b) kita lakukan pemisahan variabel sebagai fungsi

+

Persamaan diatas menjadi

+

Dari persamaan 1.7 tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya tergantung  jari-jari r, suku kedua dan ketiga hanya tergantung  dan . Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jari-jari dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk sembarang nilai r,  dan  jika masing-masing suku sama dengan konstanta. Konstanta (c) berharga ± Suku yang hanya bergantung jari-jari menjadi

PD. Fungsi Laquerre

Kita pindahkan fungsi ( pada persamaan (1.5)

- =0 (1.5)

Sehingga persamaan 1.5 menjadi

- =0 (1.5a)

Atau

   (1.8b)

Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut  dan  menjadi

  (1.9a)

Setelah dikalikan dengan

 (1.10a)

Atau++  (1.10b)

Sehingga

(1.11a)

Atau setelah dikalikan  peroleh

  (1.11b)

Jadi bilangan kuantum ada hubungannya dengan matematika pada saat penemuan bilangan kuantum itu sendiri yang dilakukan erwin scrodinger dengan menggunakan persamaan scrodinger yang diselesaikan secara matematis dan pada simbol-simbol bilangan kuantum juga memiliki harga atau nilai berupa angka yang digunakan dalam matematika

DAFTAR PUSTAKA

Anoname.2015.wikipedia.[online].Tersedia: https://id.wikipedia.org/wiki /Persamaan_Schrödinger.[18 april 2016].

Fisikazone.Tersedia: http://fisikazone.com/teori-kuantum-atom/ .[3 mei 2016]

Utomo Galih.2010.media belajar online. [online].Tersedia: https://mediabelajaronline.blogspot.co.id/2010/09/bilangan-kuantum.html. [20 mei 2016]