Karya : Tiya Fathonah – 152151080
Email : tiyafathonah@gmail.com
|
P
|
ersegi ajaib atau bujur sangkar
ajaib merupakan susunan bilangan-bilangan dalam suatu persegi atau bujur sangkar
yang berukuran
petak dan bilangan-bilangan penyusunnya
memiliki hubungan atau sifat tertentu. Keajaibannya adalah bahwa dalam susunan
tersebut jumlah bilangan dalam persegi atau bujur sangkar sebaris sama untuk
semua baris yang ada, dan sama juga dengan jumlah bilangan sekolom untuk semua
kolom yang ada, serta sama juga dengan jumlah bilangan sediagonal untuk kedua arah diagonalnya. Jumlah bilangan tersebut
disebut juga sebagai konstanta ajaib, yang mempunyai rumus:
Menurut sejarahnya, persegi ajaib
telah dikenal sejak sebelum masa Kaisar Yu (2200 SM) di Cina, yang disebut lo-shu. Lingkaran hitam melambangkan
bilangan genap (perempuan; yin)
sedangkan lingkaran putih melambangkan bilangan ganjil (laki-laki; yang). Jika dinyatakan dengan
angka-angka yang menyatakan banyak lingkarannya maka diperoleh angka-angka
tersusun dalam sebuah persegi. Bilangan yang dilambangkanya mempunyai sifat
istimewa yaitu jumlah bilangan pada setiap baris, setiap kolom, dan setiap diagonal
sama, yaitu 15. Keistimewaan persegi ajaib membentuk suatu ketetapan yang
disebut Tetapan Persegi Ajaib. Pusatnya : 5 mempresentasikan bumi yang
dikelilingi oleh empat pasang kelompok lingkaran dan banyak lingkaran di pusat
itu merupakan rataan dari kelompok pasangan sebelah-menyebelah pusat, sehingga
terjadi keseimbangan.
|
Lo
Shu
|
Interpretasi Lo
Shu
|
Pada abad pertengahan persegi ajaib banyak dipercaya sebagai
tolak bala, sehingga di Mesir dan India persegi ajaib tersebut diukir pada batu
atau logam yang dipakai sebagai jimat.
Persegi
ajaib yang cukup terkenal adalah persegi ajaib yang berukuran
tersusun dari 16 bilangan asli pertama yang
dirancang oleh Albert Dürer pada tahun 1514 yang terdapat dalam lukisannya yang
berjudul Melencolia I (atau biasa disebut Melencolia Eins). Tahun penyusunannya
tertera pada bagian baris terakhir persegi ajaibnya. Selain kesamaan jumlah
elemen sebaris, sekolom, dan sediagonal, setiap empat bilangan pada pusat dan
pada pojok persegi berjumlah sama, yaitu 34.
|
|
Lukisan Melencolia I
|
|
|
Persegi ajaib
pada lukisan Melencolia I
|
|
|
Interpretasi
persegi ajaib dari lukisan Melencolia I
|
Mengkontruksi Magic Square
Mengkontruksi magic square (persegi
ajaib) dapat dilakukan dengan berbagai metode, yaitu :
A.
Metode
Siamese (de la Lobère Method)
Metode ini hanya dapat digunakan untuk
persegi ajaib berukuran ganjil, misalnya
.
Langkah-langkah
metode Siamese adalah :
1.
Hitung konstanta ajaibnya
Karena
konstanta ajaibnya adalah 15, maka semua baris, kolom, dan diagonal harus
berjumlah sama yaitu 15.
2.
Tempatkan angka 1 di kotak tengah pada
baris teratas. Di tempat inilah awal untuk memulai pengisiannya, tidak peduli
betapa besar atau kecilnya orde persegi ajaib tersebut. Untuk persegi ajaib
berukuran
ini, tempatkan angka 1 pada kotak kedua dari
sisi kiri atau kanan.
3.
Isilah angka-angka sisanya menggunakan
pola “ke atas kanan satu kotak”. Dalam pengisian persegi ajaib ini akan selalu
mengisikan angka-angka secara berurutan (1, 2, 3, dan seterusnya) dengan
bergerak mengikuti pola “ke atas kanan satu kotak”. Untuk persegi ajaib
berukuran
ini
akan terlihat bahwa untuk menempatkan angka 2 akan bergerak melewati baris
teratas, keluar dari persegi ajaib tersebut, sehingga terdapat aturan :
·
Jika pergerakan pengisian angka menuju ke
kotak yang melewati baris teratas dari persegi ajaib, maka tetaplah berada di
kolom kotak itu, tetapi menempatkan angka pada baris terbawah dari kolom itu.
·
Jika pergerakan pengisian angka menuju ke
kotak yang melewati kolom paling kanan dari persegi ajaib, maka tetaplah berada
di baris dari kotak itu, tetapi tempatkan angka pada kolom paling kiri dari
baris itu.
·
Jika pergerakan pengisian angka menuju ke
kotak yang telah terisi, maka tempatkanlah angka berikutnya di bawah kotak itu.
4.
Sehingga pada saat ini semua kolom, baris,
dan diagonal berjumlah sama dengan kostanta ajaib yang dihitung.
B. Metode piramida
Metode
Piramida merupakan metode Siamese yang dimodifikasi yaitu akan dibentuk seperti
piramida terlebih dahulu. Metode ini juga hanya dapat digunakan untuk persegi
ajaib berukuran ganjil, misalnya
.
Langkah-langkah
metode Piramida adalah :
1.
Hitung konstanta ajaibnya
Karena
konstanta ajaibnya adalah 15, maka semua baris, kolom, dan diagonal harus
berjumlah sama yaitu 15.
2.
Buatlah coretan pada persegi ajaib seperti
papan catur
3.
Buatlah sorotan pada persegi ajaib seperti
bentuk piramida
4.
Tempatkan angka 1 pada petak paling kiri
dari persegi ajaib tersebut untuk memulai penyusunan bilangan
Isilah
angka-angka sisanya dengan menerapkan metode Siamese yaitu menggunakan pola “ke
atas kanan satu kotak” dengan hanya satu aturan pengecualian yaitu jika
pergerakan pengisian angka menuju ke kotak yang melewati kolom paling kanan
dari persegi ajaib, maka tetaplah berada di baris dari kotak itu, tetapi
tempatkan angka pada kolom paling kiri dari baris itu
5.
Setelah semuanya terisi, pindahkan daerah
sorotan ke dalam persegi ajaib dengan ketentuan yaitu daerah sorotan kiri
dipindahkan ke daerah kosong persegi ajaib sebelah kanan, sedangkan daerah
sorotan atas dipindahkan ke daerah kosong persegi ajaib bagian bawah
6.
Sehingga pada saat ini semua kolom, baris,
dan diagonal berjumlah sama dengan kostanta ajaib yang dihitung
C. Metode Strachey
Metode
ini hanya dapat digunakan untuk persegi ajaib berukuran genap tetapi bukan
kelipatan 4 atau disebut juga singly even
magic square, misalnya
karena persegi ajaib berukuran
tidak dapat dibuat.
Langkah-langkah
metode Strachey adalah :
1.
Hitung konstanta ajaibnya
Karena
konstanta ajaibnya adalah 111, maka semua baris, kolom, dan diagonal harus
berjumlah sama yaitu 111.
2.
Bagilah persegi ajaib tersebut menjadi
empat kuadran yang berukuran sama.
Tandai
mereka dengan A (kiri atas), C (kanan atas), D (kiri bawah), B (kanan bawah).
Untuk mengetahui seberapa besar seharusnya ukuran setiap kuadran, cukup dengan
membagi jumlah kotak di setiap baris atau kolom dengan 2. Jadi, untuk persegi
berukuran
, ukuran setiap kuadran adalah
.
3.
Berilah suatu jangkauan di setiap kuadran.
Kuadran
A berisi seperempat bilangan-bilangan pertama, kuadran B berisi seperempat
bilangan-bilangan kedua, kuadran C berisi seperempat bilangan-bilangan ketiga,
dan kuadran D berisi seperempat bilangan-bilangan terakhir dari total jangkauan
bilangan yang memenuhi persegi ajaib. Pada persegi ajaib
, kuadran A berisi bilangan-bilangan 1
hingga 9, kuadran B berisi bilangan-bilangan 10 hingga 18, kuadran C berisi
bilangan-bilangan 19 hingga 27, dan kuadran D berisi bilangan-bilangan 28
hingga 36.
4.
Isi setiap kuadran dengan menggunakan
metode Siamese. Kuadran A akan mudah diisi, karena dimulai dengan angka 1, sama
seperti persegi ajaib berukuran ganjil. Tetapi untuk kuadran B hingga D, akan
dimulai dengan bilangan-bilangan yang tidak biasa, yaitu 10, 19, dan 28 (untuk
persegi ajaib berukuran
) sehingga terdapat aturan :
·
Anggaplah bilangan pertama pada setiap
kuadran seolah dengan angka 1, tempatkan di kotak tengah pada baris teratas
dari setiap kuadran.
·
Anggaplah setiap kuadran seolah sebagai
bujur sangkar ajaib tersendiri. Bahkan meskipun sebuah kotak ada di kuadran
yang berdekatan, abaikan kotak itu dan lanjutkan sesuai aturan metode Siamese
yang sesuai dengan situasi itu.
5.
Buatlah sorotan kuadran A dan D
Jika
diperhatikan pengisian persegi ajaib saat ini jumlahnya belum sesuai dengan
konstanta ajaib, sehingga untuk membuatnya sama maka harus ditukar beberapa
kotak antara kuadran kiri atas dan kiri bawah untuk menyelesaikan persegi ajaib
tersebut dengan menyebut daerah-daerah yang ditukar tersebut sebagai sorotan
kuadran A dan D.
·
Tandai semua kotak pada baris teratas
hingga mencapai posisi kotak median dari kuadran A (median dapat diketahui dari
rumus
,
dengan m sebagai median). Jadi pada persegi ajaib berukuran
hanya akan ditandai kotak 1 (yang berisi angka
8), sedangkan misalnya pada persegi ajaib berukuran
akan menandai kotak 1 dan 2 (yang
masing-masing berisi angka 17 dan 24).
·
Tandai suatu daerah berupa persegi ajaib
menggunakan kotak-kotak yang telah ditandai sebagai baris atas. Jika hanya
menandai satu kotak, maka persegi ajaib hanya berupa satu kotak saja dan akan
disebut sebagai sorotan A-1, sedangkan misalnya pada persegi ajaib
sorotan
A-1 akan terdiri dari kotak 1 dan 2 pada baris 1 dan 2, yang membuat 2
di
kiri atas dari kuadran.
·
Pada baris di bawah sorotan A-1, lewati
kotak kolom pertama, lalu tandai kotak di tengah kuadran yang akan disebut
baris tengah ini sebagai sorotan A-2.
·
Sorotan A-3 adalah kotak yang identik
dengan sorotan A-1, tetapi berada di pojok kiri bawah dari kuadran.
·
Ulangi proses ini pada kuadran D, membuat
daerah sorotan identik yang disebut sebagai sorotan D.
6.
Tukar sorotan A dan D
Ini
merupakan pertukaran satu demi satu, pindah dan gantikan kotak-kotak antara
kuadran A dan kuadran D tanpa mengubah urutan sama sekali (lihat gambar). Setelah melakukannya, maka semua baris, kolom,
dan diagonal pada persegi ajaib akan berjumlah sama dengan konstanta ajaibnya.
C. Metode Lozenge
Metode
ini hanya dapat digunakan untuk persegi ajaib berukuran genap dan merupakan
kelipatan 4 atau disebut juga doubly even magic square, misalnya
.
Langkah-langkah
metode Lozenge adalah :
1.
Hitung konstanta ajaibnya
Karena
konstanta ajaibnya adalah 34, maka semua baris, kolom, dan diagonal harus
berjumlah sama yaitu 34.
2.
Isi persegi ajaib dengan susunan
bilangan-bilangan berurutan dari arah kiri atas ke kanan bawah
3.
Buatlah sorotan di tiap pojoknya. Pada
setiap persegi ajaib, tandai petak berukuran kecil dengan panjang sisi
(n
merupakan orde persegi ajaib). Sehingga pada persegi ajaib
, hanya akan menandai keempat pojok
persegi, sedangkan pada persegi ajaib
, setiap sorotan akan berupa daerah
di
pojoknya.
4.
Buatlah sorotan tengah. Tandai semua kotak
di tengah persegi ajaib dalam daerah persegi dengan panjang
(n
merupakan orde persegi ajaib). Sehingga akan sorotannya akan bersinggungan
dengan sorotan pojoknya. Pada contoh untuk persegi ajaib berukuran
sorotan tengah akan berupa daerah
di
tengahnya.
5.
Gantilah bilangan-bilangan yang memenuhi
daerah sorotan pojok maupun tengahnya dengan cara merefleksikan susunan
bilangan yang diganti, yaitu dari urutan kiri atas ke bawah kanan, menjadi
kanan bawah ke kiri atas.
6.
Kemudian, saat ini semua kolom, baris, dan
diagonal seharusnya berjumlah sama dengan kostanta ajaib yang dihitung.
D. Metode Conway LUX
Metode
ini hanya berlaku bagi persegi
, misalnya 6, 10, 14, dan seterusnya.
Metode ini juga menggunakan prinsip metode Siam yang dimodifikasi. Dinamakan
Conway LUX karena bentuk pola pengisian persegi ajaibnya berbentuk LUX.
Langkah-langkah
metode Conway
LUX
:
1.
Hitung konstanta ajaibnya, misal yang akan
dibuat adalah pesegi ajaib berukuran
Karena
konstanta ajaibnya adalah 505, maka semua baris, kolom, dan diagonal harus
berjumlah sama yaitu 505.
2.
Bagilah persegi menjadi sekumpulan petak
berukuran
3.
Dari petak-petak itu, berikan rumus
sebagai berikut :
·
untuk baris pertama adalah L
·
1 baris berikutnya adalah U
·
untuk baris terakhir adalah X
(m adalah banyaknya petak berukuran
dalam persegi ajaib )
4.
Kemudian, tukarkan petak U di tengah
dengan L yang berada di atasnya
5.
Mengisi persegi ajaib dengan menggunakan
metode Siamese di tiap kotak yang bertanda, sehingga untuk persegi ajaib
berukuran
menggunakan metode Siamese untuk persegi ajaib
berukuran
. Dalam penempatan susunan bilangannya
juga mengikuti pola LUX.
6.
Setelah itu, saat ini semua kolom, baris,
dan diagonal seharusnya berjumlah sama dengan kostanta ajaib yang dihitung.
DAFTAR PUSTAKA
hendrytext.blogspot.com/2010/01/mengenal-magic-square.html?m=1
id.m.wikihow.com/Memecahkan-Bujur-Sangkar-Ajaib
