CARA MENGHITUNG AKAR PANGKAT DUA TANPA KALKULATOR

CARA MENGHITUNG AKAR PANGKAT DUA TANPA KALKULATOR

Suci amalia – 152151058

Suci.amalia99@rocketmail..com

A

kar pangkat dua atau biasa disebut dengan akar kuadrat. Sudah bukan hal yang asing kita jumpai dalam pengoperasian perhitungan bahkan dalam ilmu matematika. Akar kuadrat dibagi manjadi 2 yaitu akar kuadrat sempurna (rasional) dan akar kuadrat tidak sempurna.(irrasional). Dalam perhitung kuadrat rasional mungkin kita tidak kesulitan dalam memecahkan soal. Namun, bagaimana apabila kita menemui dalam bentuk akar irrasional? Mungkin akan kesulitan dalam penyelesaiaan tanpa bantuan kalkulator.

Pada pembahasan kali ini, penulis akan membahas rumus sederhana yang dapat digunakan dalam perhitungan akar pangkat dua atau biasa disebut dengan akar kuadrat  dengan menggunakan “Porogapit/ Paragapit” . ada beberapa metode yang penulis bahas dalam essay ini,yaitu :

CARA BAKHSHALI

Bersumber dari buku yang berjudul The Universal Book of Mathematics karya David Darling yang didalamnya terdapat subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”

_{gambar 1. The Universal Book of Mathematics book}

^{gambar 2. cuplikan paragraf “Bakhshali manuscript”}

Dari cupilkan paragraf diatas terdapat rumus yang sangat menarik untuk dipahami. Rumus tersebut dapat digunakan untuk mencari hasil dari perhitungan akar kuadrat yang lebih sederhana dan sangat mendekati hasil sebenarnya.

Rumusnya sebagai berikut :

Ket :

·         N = sebarang bilangan asli atau bilangan cacah

·         b = N – A²

Contoh 1 

= ....
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

·         pertama-tama kita cari terlebih dahulu bilangan yang mendekati N. Kita pilih A=4, sehingga A²= 16

·         lalu selisihkan nilai N-A² sehingga b= 20-16=4

·         kemudian masukkan ke rumus

= 4 +   -

4 -  ´

4 - 

4,5 – 0,0278

 4,4722

Contoh 2 :

=

·         pertama-tama kita cari terlebih dahulu bilangan yang mendekati N. Kita pilih A=15, sehingga A²= 225

·         lalu selisihkan nilai N-A² sehingga b= 250-225=15

·         kemudian masukkan ke rumus

= 15 +   -

15 -  ´

15 - 

15,8333- 0,03389

 15,8104

Berikut ini adalah beberapa nilai untuk  sampai dengan 20

		Menggunakan Rumus
1	1	1
2	1,414213562	1,416666667
3	1,732050808	1,75
4	2	2
5	2,236067977	2,236111111
6	2,449489743	2,45
7	2,645751311	2,647727273
8	2,828427125	2,833333333
9	3	3
10	3,16227766	3,162280702
11	3,31662479	3,316666667
12	3,464101615	3,464285714
13	3,605551275	3,606060606
14	3,741657387	3,742753623
15	3,872983346	3,875
16	4	4
17	4,123105626	4,123106061
18	4,242640687	4,242647059
19	4,358898944	4,358928571
20	4,472135955	4,472222222

Jika diperhatikan, hasil perhitungan menggunakan rumus baskhali menghasilkan nilai yang mendekati nilai sebenarnya.

CARA CALANDRA

Calandra adalah matematikawan India yang pertama kali menemukan cara tersebut pada tahun 1491 (Marsudi dalam Pujiati, 2010:26)

Contoh 1 

= ....
....
Penyelesainnya adalah :

 

Contoh 2 

= ....
Penyelesaian
Secara singkat penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

Contoh 3

 =

·         Pertama kita kelompokkan dua-dua dari kanan (dari satuan). Jadi kalau 3844 menjadi 38|44.

·         Sekarang 38 84. Kita perhatikan kelompok pertama 38.
Berapa kuadrat yang hasilnya mendekati 38 tapi ndak lebih dari 38? 6 kan ya? kan 6×6=366×6=36. Kalau 7×77×7 sudah 49. Sudah lebih dari 38. Jadi kita ambil 6. Kita tulis di bawahnya. Gambarnya kayak gini.. Kita kurangi 38 dengan 36. Hasilnya 2.

Selanjutnya turunkan dua digit berikutnya, yaitu 44. Jadinya 244. Okay, sekarang angka 6 nya kita kalikan 2 jadi 12. Nah, kita cari coba 12_x_ yang hasilnya mendekati atau sama dengan 244? Bilangan yang memenuhi yaitu 122 x 2. Kita satukan angka 2 ke jawabannya.
Jadi 3844−−−−√=623844=62. Cara ini juga bisa untuk sembarang bilangan lho..

CARA BABYLONIA

Masyarakat Babilonia yang hidup pada masa 2000-1600 sebelum masehi, atau sekitar 4000 tahun yang lalu, sudah memiliki metode sendiri untuk memperkirakan nilai dari akar kuadrat suatu bilangan. Mengagumkan bukan? Dimulai dengan masalah menentukan panjang diagonal suatu gerbang yang lebarnya   dan tingginya  , atau dengan kata lain memperkirakan nilai dari   Metode Babilonia memberikan perkiraan sebagai berikut. 

Contoh 1 

= ....

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

• Ambil sebarang bilangan sebagai perkiraan awal akar pangkat dua suatu bilangan yang mendekati bilangan → misal kita pilih l = 4 adalah tebakan pertama
• Lalu selisihkan dengan akar bialngannya, sehingga t= 20-16=4
• Lalu kita masukkan kedalam rumus tersebut:

 == 4 + 4  2.4

4 + 0,5

 4,5

• Lakukan seperti pada langkah 2 dan seterusnya sesuai dengan banyaknya angka desimal yang diinginkan.

Atau dapat disederhanakan seperti :

• Ambil sebarang bilangan sebagai perkiraan awal akar pangkat dua suatu bilangan → misal 4 adalah tebakan pertama
• Bagi bilangannya dengan bilangan pertama, hasilnya adalah bilangan perkiraan akar pangkat dua yang baru →  = 5
• Buat rata-rata perkiraan akar pangkat dua awal dan baru →= 4,5
• Nilai rata-rata ini merupakan angka perkiraan akar pangkat dua baru → 4,5
• Lakukan seperti pada langkah 2 dan seterusnya sesuai dengan banyaknya angka desimal yang diinginkan.

Jika cara tersebut di atas diteruskan lagi, maka langkahnya adalah sebagai berikut :

Perhitungan tersebut dapat dilanjutkan terus sesuai dengan banyaknya angka desimal yang diinginkan

Contoh 2 

== ....
Penyelesaian :

Perhitungan tersebut dapat dilanjutkan terus sesuai dengan banyaknya angka desimal yang diinginkan.

Kesimpulan

Dalam ilmu matematika selalu banyak cara dalam pengoperasian untuk mencapai tujuan yang sama. Seiring berkembangnya zaman semakin banyak ilmuan-ilmuan yang menemukan atau menciptakan suatu ide-ide untuk menyederhanakan hal yang sulit atau mempermudah sesuatu.

Seperti halnya dengan akar kuadrat banyak sekali cara. Salah satunya rumus Bakhshali. Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus. Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai  sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati. Begitu juga sebaliknya.

Kelemahan dari rumus Bakhshali tidak semua nilai menghasilkan hasil yang sebenarnya. Dan akan menghasilkan nilai yang sama apabila hasil tersebut dibulatkan.

Kelemahan dari rumus Babylonia adalah pengulangan rumus berkali dan kita tau sampai berapa digit akhir dibelakang koma apabila tidak dihitung secara satu-satu.

Manfaat dari esai ini adalah sebagai berikut:

1. memberikan informasi dan pengetahuan kepada pembaca
2. memberi kemudahan dalam perhitungan akar kuadrat terutama akar kuadrat irrasional tanpa menggunakan alat hitung kalkulator

DAFTAR PUSTAKA

Kholik, (2011). Menghitung akar tanpa kalkulator (menggunakan rumus) [pendekatan], [Onilne]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/

Wartam, (2014). Cara Mencari Akar Kuadrat Suatu Bilangan[Online]. tersedia : http://gurumatpinggiran.blogspot.co.id/2014/03/cara-mencari-akar-kuadrat-suatu-bilangan.html.

Tiar, (2015). Sejarah Angka Babylonia.[Online]. Tersedia: (2015)http://arablog12.blogspot.co.id/2015/01/metode-pendekatan-akar-kuadrat-babilonia.html